Các cách thường dùng

1. Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, thực hành hoặc hoạt động thực tiễn.
2. Lật ngược vấn đề.
3. Xem xét tương tự.
4. Khái quát hóa.
5. Khai thác kiến thức cũ đặt vấn đề dẫn đến kiến thức mới.
6. Nêu một bài toán mà việc giải quyết cho phép dẫn đến kiến thức mới.
7. Tìm sai lầm trong lời giải.

Các ví dụ

Dự đoán nhờ nhận xét trực quan...

Ví dụ 1

Hình thành quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu

Một em bé đang đứng ở khoảng giữa của một cầu thang. Nếu quy ước lên 2 bậc viết là +2, xuống 3 bậc viết là -3. Hãy nêu nhận xét về số bậc lên xuống của em bé trong các trường hợp sau:

1. Lên 2 bậc rồi lên tiếp 3 bậc.
2. Xuống 2 bậc rồi xuống tiếp 3 bậc.
3. Lên 2 bậc rồi xuống 2 bậc.
4. Lên 2 bậc rồi xuống 3 bậc.

Từ đó dẫn đến việc phát hiện ra quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu.

Ví dụ 2

Hình thành khái niệm bằng nhau

Khi dạy bài ”Bằng nhau, dấu =”,

• Vào lớp GV có thể hỏi: các con cho cô biết 1 kg sắt (hoặc sách) và 1 kg bông (gòn) bên nào nặng hơn?
• HS có thể trả lời như sau:

1. Sắt (sách) nặng hơn, trường hợp này GV cho HS dùng hai tay cầm 2 vật và so sánh để đi đến kết luận 1 kg sắt (sách) = 1 kg bông.
2. Bông gòn nhiều hơn, trường hợp này GV giải thích cho HS về khái niệm nặng chứ không phải là nhiều và tiếp tục cho trẻ tự cân bằng tay để đi đến kết luận.
3. Bằng nhau, trường hợp này GV phải hỏi vì sao, để xem HS có hiểu đúng bản chất vấn đề không.

Ví dụ 3

Hình thành bảng cộng phạm vi 7

Trong một lớp học, khi dạy bài cộng trong phạm vi 7. GV có thể cho mỗi nhóm học sinh dùng hai cái ”xúc sắc”. Một cái HS dùng để quay, một cái dùng để chọn (mặt có dấu chấm cho phù hợp). Khi mặt ”xúc sắc” hiện lên một chấm (.) thì HS tìm ở ”xúc sắc” còn lại mặt 6 chấm để chung vào rồi viết 1 + 6 = 7. Và cứ tuần tự như thế, HS tự thiết kế bảng cộng trong phạm vi 7 chứ không phải GV thuyết giảng cho cả lớp. GV chỉ điều chỉnh khi cần thiết hoặc hướng dẫn riêng cho một HS chậm hơn các bạn. Ở lớp này HS là chủ thể tạo ra tri thức trên cơ sở tự tin, hứng thú khi tự mình tìm cách giải quyết tình huống.

Ví dụ 4

Hình thành quy tắc chuyển vế

Quan sát lời giải sau:

Từ x — 2 = - 3 ta được x = -3 + 2

Từ x + 4 = 3 ta được x = 3 — 4

• GV: "nhận xét gì về dấu của một số hạng khi chuyển số hạng đó từ vế này sang vế kia của đẳng thức?"
• HS: suy nghĩ và trả lời câu hỏi… "phải đổi dấu số hạng đó: dấu + thành dấu – và dấu – thành dấu +."
• GV: "đó chính là nội dung của quy tắc chuyển vế."

Lật ngược vấn đề

Đặt vấn đề nghiên cứu mệnh đề đảo sau khi chứng minh một tính chất, một định lí.

Ví dụ 1

Hình thành định lí đảo của định lí Pitago

Đặt vấn đề: “Trong tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông”.

Vậy ngược lại “Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó có là tam giác vuông không?”

Ví dụ 2

Hình thành tỉ lệ thức

Từ tỉ lệ thức ta suy ra đẳng thức a.d = b.c.

Vậy từ đẳng thức a.d = b.c ta có thể suy ra tỉ lệ thức nào?

Ví dụ 3

Hình thành phép trừ

Cho hai số tự nhiên a và b ta có thể tìm được tổng của chúng. Ngược lại, biết một số tự nhiên c, ta có thể tìm được hai số a và b sao cho a + b = c không?

Ví dụ: tìm hai số a và b sao cho a + b = 3.

Trường hợp đặc biệt, c = 0, ta có khái niệm số đối

Ví dụ 4

Cho hai vector , ta có vẽ được vector tổng của chúng. Ngược lại, cho trước một vector , ta có thể vẽ được hai vector sao cho không?

• Có hai khả năng: và cùng phương; và không cùng phương
• Giáo viên tổ chức sao cho học sinh gặp cả hai tình huống
• Qua đó, giới thiệu trường hợp hai được gọi là "phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương".

Trường hợp đặc biệt, , ta có khái niệm vectơ đối

Ví dụ 5

Khi biết tọa độ của một vectơ pháp tuyến và tọa độ một điểm M của đường thẳng Δ ta viết được phương trình tổng quát của nó.

Ngược lại, khi biết phương trình tổng quát của một đường thẳng ta có thể tìm được tọa độ của một vectơ pháp tuyến và tọa độ một điểm của nó không?

Khi biết tọa độ của một vectơ chỉ phương và tọa độ một điểm M của đường thẳng Δ ta viết được phương trình tham số của nó.

Ngược lại, khi biết phương trình tham số của một đường thẳng ta có thể tìm được tọa độ của một vectơ chỉ phương và tọa độ một điểm của nó không?

Xem xét tương tự

Ví dụ

Hình thành hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hai biểu thức:

Từ hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng hai biểu thức” có thể suy ra hằng đẳng thức “bình phương của một hiệu hai biểu thức” không?

Khái quát hóa

Ví dụ

Hình thành hằng đẳng thức n phương của một hiệu hai biểu thức. Từ:

có thể dự đoán:

Khai thác kiến thức cũ đặt vấn đề...

Ví dụ 1: Hình thành phương pháp giải toán bằng phương trình

Giải bài toán:

“Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn”.

Hỏi có mấy con gà, mấy con chó?

Sau khi học sinh giải xong bằng phương pháp giả thiết tạm đã biết, giáo viên đặt vấn đề “phiên dịch” ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Đại số, từ đó dẫn đến kiến thức mới: “Giải bài toán bằng phương trình”.

Ví dụ 2: Hình thành khái niệm phương trình tham số của đường thẳng.

Giải bài toán: “Cho đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Điểm M(1;2) có nằm trên đường thẳng d không?”.

Dự kiến:

• Nếu học sinh trả lời “Viết phương trình tổng quát của đường thẳng rồi thay tọa độ của M vào phương trình đó” thì giáo viên công nhận là đúng. Liệu có cách nào khác, không cần viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.
• Nếu học sinh trả lời “Viết phương trình tham số của đường thẳng d” thì giáo viên có thể hỏi lại “vậy phương trình tham số của đường thẳng là gì... đó chính là nội dung bài học hôm nay”.
• Sau đó phát biểu bài toán tổng quát: “Cho đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Tìm điều kiện để điểm M(x;y) nằm trên đường thẳng d.

Nhận xét‎‎: Cách dạy này có hai chức năng: một là kiểm tra bài cũ tạo tiền đề, hai là tạo ra một vấn đề từ đó đi đến kiến thức mới. Với hai chức năng như thế giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới một cách trực quan. Hiểu được nguồn gốc và bản chất của kiến thức.

Ví dụ 3: Hình thành các quy tắc tính đạo hàm

Sau khi học sinh biết đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Giáo viên có thể đặt vấn đề như sau để dẫn đến các quy tắc tính đạo hàm của hàm số:

Ta đã biết đạo hàm của: và thế còn:

Ví dụ 4: Hình thành các phép toán giới hạn của hàm số

Cách đặt vấn đề giống như ví dụ hình thành các quy tắc tính đạo hàm.

Ví dụ 5: Hình thành khái niệm hai phân số bằng nhau (lớp 6)

Đặt vấn đề:

• Ở lớp 5 ta đã biết thế nào là hai phân số bằng nhau với tử số và mẫu số là các số tự nhiên.
• Thế còn đối với các phân số mà tử số và mẫu số là các số nguyên thì sao, ví dụ: hai phân số và có bằng nhau không và làm thế nào để biết điều đó?
• Đó chính là nội dung của bài học hôm nay!

Ví dụ 6: Hình thành khái niệm phép chia có dư

Sau khi học sinh biết thế nào là phép chia hết, giáo viên tổ chức cho học sinh quan sát: “Hai phép chia sau:

có gì khác nhau?”

Dự kiến:

• Nếu học sinh trả lời “số bị chia khác nhau” thì GV “đúng vậy” và còn gì khác nữa?
• Nếu học sinh trả lời “số dư khác nhau” thì GV “đúng vậy, chính xác hơn là ở phép chia thứ nhất số dư bằng không còn ở phép chia thứ hai số dư khác không”.
• Từ đó giới thiệu phép chia hết, phép chia có dư.

Nhận xét: GV nên cho học sinh quan sát không chỉ với hai phép chia mà càng nhiều càng tốt trong đó chia ra làm hai loại. Loại có dư và loại không có dư. Biện pháp tổ chức tối ưu là cho làm việc nhóm trong đó mỗi thành viên của nhóm tự cho một phép chia.

Ví dụ 7: Hình thành khái niệm phép trừ

Tình huống:

Xét xem có số tự nhiên x nào mà

a) 2 + x = 5 hay không?

b) 6 + x = 5 hay không?

Học sinh tìm giá trị của x:

• Ở câu a, tìm được x = 3
• Ở câu b, không tìm được giá trị của x.

Nhận xét: ở câu a ta có phép trừ: 5 – 2 = 3

Khái quát và ghi bảng:

Cho hai số tự nhiên a và b, nếu có số tự nhiên x sao cho b + x = a thì có phép trừ a – b = x.

Ví dụ 8: Hình thành khái niệm phép chia hết (dạy tương tự khái niệm phép trừ)

Tình huống:

Xét xem có số tự nhiên x nào mà

a) 3.x = 12 hay không ?

b) 6.x = 12 hay không ?

Học sinh tìm giá trị của x:

• Ở câu a, tìm được x = 4
• Ở câu b, không tìm được giá trị của x.

Nhận xét: ở câu a ta có phép chia hết: 12 : 3 = 4

Khái quát và ghi bảng:

Cho hai số tự nhiên a và b (b≠0), nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì có phép chia hết a : b = x.

Ví dụ 9: Hình thành khái niệm vectơ đối (tương tự khái niệm phép trừ, số đối)

Tình huống:

Cho vectơ , xét xem có vectơ nào mà

Nêu một bài toán mà việc giải...

Ví dụ 1: Hình thành phương pháp chứng minh

Bài toán: Cho A = 2000.2000 và B = 1999.2001. Hãy tìm cách nhanh nhất để so sánh hai phép tính trên.

Bài toán này đòi hỏi học sinh phải phát hiện đặc điểm của các số đã cho:

Nếu đặt 2000 = n thì A = n² còn B = (n - 1)(n + 1) = n² - 1. Như vậy A lớn hơn B một đơn vị.

Ví dụ 2: Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của đường thẳng

Bài toán: “Cho đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến . Điểm M(1;2) có nằm trên đường thẳng d không?”

Từ đó dẫn đến giải quyết bài toán tổng quát hơn đó là: “Tìm điều kiện để một điểm M(x;y) nằm trên đường thẳng d biết vectơ pháp tuyến và một điểm mà nó đi qua.”

Ví dụ 3: Hình thành phép cộng hai số nguyên khác dấu

Kiểm tra bài cũ: “Cộng hai số nguyên cùng dấu”:

Bài tập 26: “Nhiệt độ hiện tại của phòng là -5°C. Nhiệt độ sắp tới tại đó là bao nhiêu biết nhiệt độ giảm 7°C?”

Sau đó giáo viên đặt vấn đề (vừa phát biểu và dùng phấn sửa dấu trừ thành dấu cộng):

• “Vậy nhiệt độ sắp tới là bao nhiêu biết nhiệt độ vẫn giảm 7°C và nhiệt độ hiện tại của phòng là +5°C”
• Muốn biết nhiệt độ sắp tới tại phòng là bao nhiêu, ta đặt phép tính gì?

Dự kiến:

• Nếu học sinh trả lời: “(+5) – 7” thì GV công nhận là đúng và nói đây là phép trừ hai số nguyên, ta sẽ học sau. Còn cách nào khác không?
• Nếu học sinh trả lời: “(+5) + (-7)” thì GV giới thiệu đây là phép cộng hai số nguyên khác dấu vậy kết quả của phép cộng này bằng bao nhiêu, đó là nội dung bài học hôm nay.
• GV ghi đầu bài: §5. Cộng hai số nguyên khác dấu.

Nhận xét: Cách làm này khá phổ biến và hay được dùng trong dạy học vì nó cho phép thực hiện đồng thời một lúc hai chức năng: một là kiểm tra bài cũ (tạo tiền đề) và hai là đặt vấn đề vào bài mới. Hơn nữa thực tế chứng tỏ học sinh rất thích thú cách đặt vấn đề như trên vì nó gây được sự ngạc nhiên và hứng thú cũng như sự tò mò.

Ví dụ 4: Hình thành công thức cộng lượng giác

Dự kiến:

• Câu a là quen thuộc: học sinh sẽ giải bằng cách quy gọn góc dẫn về góc đặc biệt.

• Câu b tình hình lại khác: sau khi quy gọn góc bài toán trở thành tính giá trị lượng giác của một góc không đặc biệt :

• Vấn đề chính là ở chỗ ta chưa biết cosin của cung 15° bằng bao nhiêu?
• Nhưng nhận xét rằng 15° = 60° - 45° = 45° - 30° tức là góc cần tính được biểu diễn qua hiệu của hai góc đặc biệt (hai góc đã biết giá trị lượng giác).
• Điều đó có nghĩa là nếu ta xây dựng được công thức biểu diễn cos15° qua giá trị lượng giác của các góc 60°, 45° và 30° thì bài toán được giải quyết.

Từ đó giáo viên khái quát hóa:

“Biết giá trị lượng giác của các cung a và b. Dùng công thức gì để tính các giá trị lượng giác của các cung a + b và a – b”.

Chú ‎‎‎ý: Ở các bài trước học sinh đã biết phương pháp để tính giá trị lượng giác của một góc đó là phải quy góc đó về các góc đặc biệt hay các góc đã biết giá trị lượng giác.

Tìm sai lầm trong lời giải

Ví dụ 1: Hình thành quy tắc nhân hai vế của một bất đẳng thức với một số âm.‎

Bài toán: Chứng minh rằng: “Bất kì số nào cũng không lớn hơn 0”

Thật vậy, giả sử a là một số thực bất kì:

• Nếu số a là số âm thì điều đó là hiển nhiên a < 0. ‎
• Nếu số a là số không thì a = 0.
• Nếu số a là số dương thì ta có: a – 1 < a khi đó nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với –a ta được: -a² + a < -a² và thêm a² vào hai vế của bất đẳng thức ta được: -a² + a + a² < -a² + a² a < 0.

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có a ≤ 0 (đpcm).

Ví dụ 2: Hình thành khái niệm hàm số hợp và công thức đạo hàm của hàm số hợp

• Sau khi học sinh biết công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp và các quy tắc tính đạo hàm tương ứng. Giáo viên tổ chức và yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số sau:

• Chia lớp làm 4 nhóm:
  • Nhóm 1: tính đạo hàm câu a bằng định nghĩa.
  • Nhóm 2: tính đạo hàm câu a bằng công thức hàm số thường gặp.
  • Nhóm 3: tính đạo hàm câu b bằng định nghĩa.
  • Nhóm 4: tính đạo hàm câu b bằng công thức hàm số thường gặp.
• Giáo viên tổ chức cho các nhóm trao đổi, so sánh kết quả và tìm sai lầm trong lời giải.
• Từ đó đi đến kết luận: “Không áp dụng công thức đạo hàm của các hàm số thường gặp cho các hàm số này được” vì đó không phải là các hàm số thường gặp.
• Vậy chúng được gọi là các hàm số gì và muốn tính đạo hàm của các hàm số đó ta phải áp dụng công thức nào?