Trường THCS Thạnh Tân ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Họ và tên:…………………….. Môn: Toán
Lớp: 8/……. Thời gian làm bài: 90 phút



Câu 1: a/ Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8.
b/ Chứng minh rằng: Tích của năm số liên tiếp chia hết cho 120.
Câu 2: a/ Cho ba số x, y, z thoã mãn
và
.
Tính giá trị của biểu thức
.
b/ Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời :

Tính giá trị của biểu thức :


Câu 3: a/ Chứng minh rằng :

b/ Cho biểu thức:

b.1. Rút gọn biểu thức M.
b.2. Tính giá trị của M với
.
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Bốn tia phân giác của bốn
góc A, B, C, D của hình bình hành đó cắt nhau như hình vẽ.
a/ Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
b/ Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo của hình chữ nhật EFGH bằng hiệu độ dài hai cạnh kề của hình bình hành ABCD đã cho.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của cạnh DC. Điểm G là trọng tâm của tam giác ACD. Điểm N thuộc cạnh AD sao cho NG//AB.
a) Tính tỉ số
?
b) Chứng minh
đồng dạng với
và tìm tỉ số đồng dạng.
BÀI LÀM

…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………


ĐÁP ÁN

Câu 1: a/ CMR: Tích hai số chắn liên tiếp thì chia hết cho
.
Giả sử hai số chẵn liên tiếp là
và
. Ta có :
(vì
).
b/ CMR: Tích
số nguyên liên tiếp thì chia hết cho
.

Giả sứ tích
cố nguyên liên tiếp là
. Ta có:
(vì
có tích của ba số nguyên liên tiếp).

(vì
có tích của hai số chẵn liên tiếp).

(vì
có tích của 5 số nguyên liên tiếp).
Mà

Hay
.
Câu 2: a/ Cho ba số x, y, z thoã mãn
và
. Tính giá trị của biểu thức
.
Ta có



Mặt khác ta có:





Thế (2) và (1) ta được:

b/ Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời :
. Tính giá trị của biểu thức :

Lấy (1)+(2)+(3) ta được:
. Vậy


Câu 3: a/
. Ta có

b/
. b.1. M =
. b.2. M =
=


Câu 4 a/ Tam giác DEC có :
. Tam giác AGB có

Chứng minh tương tự
. Vậy, tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b/ Từ giả thiết ta có tam giác ADJ là tam giác cân (BH vừ là phân giác vừa là đường cao) nên suy ra HD = HJ. Tương tự tam giác CBL là tam giác cân nên FB = FL. Nhưng dễ thấy
(g.c.g), nên HD = HJ = FB = FL. Tứ giác HJBF có cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành, vì vậy HF//JB và HF = JB. Kết hợp EG = HF ta suy ra tứ giác GEJB là hình thang cân. Tương tự ta có EG//BC (
), ta suy ra được HF = JB = AB – AJ = AB – AD.

Câu 5: a/
b/
đồng dạng với
và k = 2.